魔術方塊數學方程式

變化數[編輯]

三階魔術方塊的總變化數是：

${\displaystyle {\frac {8!\times 3^{8}\times 12!\times 2^{12}}{2\times 2\times 3}}=43,\!252,\!003,\!274,\!489,\!856,\!000\approx 4.33\times 10^{19}}$

三階魔術方塊總變化數的算式是這樣得來：

• 8個角塊可以互換位置（${\displaystyle 8!}$），也可以旋轉（${\displaystyle 3}$），但不能單獨旋轉一個角塊，所以總共有${\displaystyle {\frac {8!\times 3^{8}}{3}}}$種變化狀態。
• 12個邊塊可以互換位置（${\displaystyle 12!}$），也可以翻轉（${\displaystyle 2}$），但不能單獨翻轉一個邊塊（將兩個面對調），也不能單獨交換兩邊塊，所以總共有${\displaystyle {\frac {12!\times 2^{12}}{2\times 2}}}$種變化狀態。

也就是說，拆散魔術方塊再隨意組合，有${\displaystyle {\frac {11}{12}}}$的機率無法恢復原狀（角塊或邊塊被單獨翻轉）。

對於一個拆散又再隨意組合的魔術方塊，總變化數則是：

${\displaystyle {8!\times 3^{8}\times 12!\times 2^{12}}=519,\!024,\!039,\!293,\!878,\!272,\!000\approx 5.19\times 10^{20}}$

某些魔術方塊在各個面的圖案具有方向性，考慮到6個中心塊各有4種朝向，但不能僅僅將一個中心塊旋轉90度，這時總變化數目還要再乘以${\displaystyle {\frac {4^{6}}{2}}}$。此時結果為：

${\displaystyle {\frac {8!\times 3^{8}\times 12!\times 2^{12}}{2\times 2\times 3}}\times {\frac {4^{6}}{2}}=8,\!857,\!606,\!706,\!155,\!225,\!088,\!000\approx 8.86\times 10^{22}}$

製造的極限[編輯]

主條目：魔術方塊製造極限

電腦與魔術方塊[編輯]

• 用電腦解決魔術方塊的復原問題並不是很困難，關鍵是要找到一個好的演算法。
• 目前速度最快且解決魔術方塊平均步驟最少的軟體是Cube Explorer。^[22]

上帝的數字[編輯]

所有的三階魔術方塊都可以在有限步數內復原，1982年，佛雷與辛馬斯特合著的《魔術方塊手冊》定義任意的三階魔術方塊都可以保證最少n步復原，並稱呼n為上帝的數字。在此書中，證明上帝的數字介於17~52之間。

1995年，瑞德證明上帝的數字介於20-29之間。2006年，雷杜用群論證明上界可改進為27。

2007年，電腦科學家古柏曼與他的學生用20台超級電腦花了8000個小時證明上界可改進為26。

2008年，Tomas Rokicki宣布證明了任何魔術方塊可以在25步以內解開^[23]。之後又改進為22步。

2010年，包括Tomas Rokicki和Morley Davidson等人的研究團隊證明任意組合的魔術方塊可以在20步內還原，現在上帝的數字正式定為20^[24][25]。